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第22章为什么3角形2边之和要大于第3边而2边之差(第1页)

埃斯皮诺萨在纸上画了一个三角形,并把三边标注为a、b、c。然后他就说:为什么两边之和要大于第三边,而两边之差要小于第三边?

艾丽西亚张口就说:这是因为三个内角的缘故。我们知道在三角形里,内角和边是一一对应的。而内角和又是180度,所以就有这样的情况。

小尼立马就说:不对。一个内角可以是另外两个内角的几倍,而边就不行了。当然不可否认的是,大角对大边。但是内角之间的比例和三边之间的比例是不同的。与三边比例相等的是三边正弦值的比例,而正弦值通常又是很复杂的。所以,不能直接拿来分析。

我觉得和三边的平均值有关。最规则的三角形是全等三角形,它的三边都相等。而三边与平均值的茶是相等的,即都是零。让我们想象一下它,一边伸长一段距离而另一边就会缩短一段距离。这时就有差了。而两条边的伸长和缩短都是一起发生的,而且是相互关联的。那么,两个差是相等的吗?不是。两边之和大于第三边看起来和边均差没有什么关系,其实只要把三边的长度减去平均值就可以了。于是,我们就得到了三个边均差了。同理,第二句也可以进行同样的操作。于是,就变成这样了:两边之间的边均差的和不能小于第三边的边均差,而两边之间的边均差的差不能大于第三边的边均差。

好了,问题换了一个形式。那么,为什么呢?还是要从全等三角形说起。我们让一边伸长,而另一边就要缩短。否则画出来的就不是三角形了。前面不是说过内角和边是一一对应的吗?当一边的长度增加时,它的内角角度就会增加。而其他两边的内角就会相应发生变化,总体就是变小。于是,两边的和就会变小。这时边均差就出现了。

艾丽西亚说:你不过是换了一种表达,却还是没有解释清楚。经过你的启发,我想到了。

如果将一个三角形的一边固定,而在三角形在画一点。然后连线形成一个新的三角形,新的三角形可以看成是旧的三角形的变形。将新的三角形的两边用力向两边伸展,最后三角形会变成一条直线。这时,两边之和等于第三边。而三角形也不再是三角形了,所以两边之和要大于第三边。而两边之差小于第三边其实是第一句话的另外一种表达而已。

埃斯皮诺萨说:大家已经解释得很清楚了,我就没有必要再说什么。

虽然我们不严谨地证明了它,说出了它背后的原因。但是,每件事情都有不同的角度去看待它。我希望大家不要忘记这个话题,让它在你们心里。有朝一日,也许我们就会重新来探讨它。三角形是形状的基础,还有很多规律。在谈论的时候,大家不要拘泥于已有的知识。多从其他角度入手,或许就有新的收获。思维是一件辛苦的事情,大家还是去休息吧!

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